Comparación numérica por diferentes métodos (métodos Runge Kutta de segundo orden, método Heun, método de punto fijo y método Ralston) a ecuaciones diferenciales con condición inicial

This manuscript contains a detailed comparison between numerical solution methods of ordinary differential equations, which start from the Taylor series method of order 2, stating that this series hinders calculations for higher order derivatives of functions of several variables, so that the Runge Kutta methods of order 2 are implemented, which achieve the required purpose avoiding the cumbersome calculations of higher order derivatives. In this document, different variants of the Runge-Kutta methods of order 2 will be exposed from an introduction and demonstration of the connection of these with the Taylor series of order 2, these methods are: the method of Heun, the method of midpoint and the Ralston method. It will be observed from the solution of test differential equations its respective error with respect to the analytical solution, obtaining an error index dictated by the mean square error EMC. Through this document we will know the best numerical approximation to the analytical solution of the different PVI (initial value problems) raised, also fixing a solution pattern for certain problems, that is, the appropriate method for each type of problem will be stipulated. It was observed that the Ralston method presented greater accuracy followed by the midpoint method and the Heun method, in the other PVI it is observed that the midpoint method yields the best numerical solution since it has a very low EMC and difficult to reach by the other methods.  Este documento contiene una comparación detallada entre los métodos de solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que comienzan con el método de la serie Taylor de orden 2, indicando que esta serie dificulta los cálculos para derivadas de orden superior de funciones de varias variables, de modo que los métodos de orden Runge Kutta 2 se implementan, lo que logra el propósito requerido evitando los difíciles cálculos de derivadas de orden superior. En este documento, se expondrán diferentes variantes de los métodos Runge-Kutta de orden 2 a partir de una introducción y demostración de la conexión de estos con la serie Taylor de orden 2, estos métodos son: el método de Heun, el método de punto medio y El método de Ralston. Se observará a partir de la solución de ecuaciones diferenciales de prueba su respectivo error con respecto a la solución analítica, obteniendo un índice de error dictado por el error cuadrático medio EMC. A través de este documento conoceremos la mejor aproximación numérica a la solución analítica de los diferentes PVI (problemas de valor inicial) planteados, también fijando un patrón de solución para ciertos problemas, es decir, se estipulará el método apropiado para cada tipo de problema. Se observo que método de Ralston presentó mayor exactitud seguido por el método del punto medio y el de Heun, en los demás PVI se observa que el método del punto medio proporciona la mejor solución numérica puesto que tiene un EMC muy bajo y difícil de alcanzar por los demás métodos

Comparison descent directions for Conjugate Gradient Method

In the following manuscript we will show as a starting point a theoretical analysis of the gradient method, known as one of the first descent methods, and from this we will identify the strength of the conjugate gradient methods. Taking an objective function, we will determine the values that optimize it by means of different methods, indicating the differences of geometric type that these have. Different systems will be used, in order to serve as a test, obtaining their solution in each case and finding the speed at which they converge in accordance with the conjugate gradient methods proposed by Hestenes-Stiefel and Fletcher-Reeves.En el siguiente manuscrito mostraremos como punto de inicio un análisis teórico del método de gradiente, conocido como unos de los primeros  métodos de descenso, y a partir de ello identificar la fortaleza de los métodos del gradiente conjugado. Tomando una función objetivo determinaremos los valores que la optimizan mediante diferentes métodos indicando las diferencias de tipo geométrico que estos tengan. Se usarán distintos  sistemas , con el fin de que sirvan de prueba obteniendo en cada caso su solución y encontrando la velocidad en que convergen de conformidad con los métodos de gradiente conjugado propuestos por Hestenes-Stiefel y Fletcher- Reeves

Comparison descent directions for Conjugate Gradient Method

In the following manuscript we will show as a starting point a theoretical analysis of the gradient method, known as one of the first descent methods, and from this we will identify the strength of the conjugate gradient methods. Taking an objective function, we will determine the values that optimize it by means of different methods, indicating the differences of geometric type that these have. Different systems will be used, in order to serve as a test, obtaining their solution in each case and finding the speed at which they converge in accordance with the conjugate gradient methods proposed by Hestenes-Stiefel and Fletcher-Reeves.En el siguiente manuscrito mostraremos como punto de inicio un análisis teórico del método de gradiente, conocido como unos de los primeros  métodos de descenso, y a partir de ello identificar la fortaleza de los métodos del gradiente conjugado. Tomando una función objetivo determinaremos los valores que la optimizan mediante diferentes métodos indicando las diferencias de tipo geométrico que estos tengan. Se usarán distintos  sistemas , con el fin de que sirvan de prueba obteniendo en cada caso su solución y encontrando la velocidad en que convergen de conformidad con los métodos de gradiente conjugado propuestos por Hestenes-Stiefel y Fletcher- Reeves

Comparative Analysis of Numerical Solutions of ODEs with Initial Value Problems using Improved Euler Methods

This document contains a detailed comparison between the initial numerical solution methods of ordinary differential equations, which start from the Euler method approach, which is based on the solution of differential equations by the Taylor method, the others two methods to be compared are improvements of this method, that of Euler, and they are the method of Heun, and the method of the midpoint. It will be observed from the solution of test differential equations its respective error with respect to the analytical solution, obtaining an error index dictated by the mean square error EMC. Through this document we will know the best numerical approximation to the analytical solution of the different PVI (initial value problems) raised, also fixing a solution pattern for certain problems, that is, the appropriate method for each type of problem will be stipulated.Este documento contiene una comparación detallada entre los métodos iniciales de solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias, que parten del enfoque del método de Euler, que se basa en la solución de ecuaciones diferenciales por el método de Taylor, los otros dos métodos a comparar son mejoras de este. método, el de Euler, y son el método de Heun, y el método del punto medio. Se observará a partir de la solución de ecuaciones diferenciales de prueba su respectivo error con respecto a la solución analítica, obteniendo un índice de error dictado por el error cuadrático medio EMC. A través de este documento conoceremos la mejor aproximación numérica a la solución analítica de los diferentes PVI (problemas de valor inicial) planteados, fijando también un patrón de solución para determinados problemas, es decir, se estipulará el método adecuado para cada tipo de problema

Analysis of Some Iterative Techniques for Systems of Linear Equations and Their Study of the Convergence Through the Number of Conditioning

At present, numerical analysis provides us with powerful tools to determine the solution of various problems whose mathematical model can be represented by a system of linear equations, these tools correspond to a number of direct and iterative methods, among which are Carl's method. Gustav Jakob Jacobi and the Doolittle and Crout method, which we analyze and compare in this document. To do this we will initially explore the concepts of conditioning the problem to determine how stable is the system from which the model was obtained, until we reach the decomposition of LU arrays proposed in the Doolittle and Crout method. As a result of the analysis and comparison in this document, depending on what is sought when solving a system of equations, either very large or small enough for our computer, we can choose an approximation that will bring a short-term result with an error. Due to the starting point as proposed in the Jacobi method, or it is possible to reach a direct result by implementing fewer iterations as proposed in the Doolittle and Crout methoEn la actualidad el análisis numérico nos brinda poderosas herramientas para determinar la solución de diversos  problemas cuyo modelo matemático  puede ser representado por  un sistema de ecuaciones lineales, estas herramientas corresponden a  un sinnúmero de métodos directos e iterativos entre los que se encuentran el método de Carl Gustav Jakob Jacobi  y el método de Doolittle y Crout los cuales analizamos y comparamos en este  documento .Para ello exploraremos inicialmente los conceptos de condicionamiento del problema para determinar que tan estable es el sistema  de donde se obtuvo el modelo ,  hasta llegar a la descomposición de matrices LU propuestas en el método de Doolittle y Crout. Como resultado del análisis y comparación  en este documento    dependiendo de lo que se busque al  resolver un sistema de ecuaciones ya sea de tamaño muy grande o lo suficiente pequeño para nuestra computadora, podemos optar por una aproximación que traerá un resultado a corto plazo con un error debido al punto de partida tal y como como se propone en el método del Jacobi o es posible llegar a un resultado directo implementando menor cantidad de iteraciones como se propone en el método de Doolittle y Crout. &nbsp

Comparative Analysis of Numerical Solutions of ODEs with Initial Value Problems using Improved Euler Methods

This document contains a detailed comparison between the initial numerical solution methods of ordinary differential equations, which start from the Euler method approach, which is based on the solution of differential equations by the Taylor method, the others two methods to be compared are improvements of this method, that of Euler, and they are the method of Heun, and the method of the midpoint. It will be observed from the solution of test differential equations its respective error with respect to the analytical solution, obtaining an error index dictated by the mean square error EMC. Through this document we will know the best numerical approximation to the analytical solution of the different PVI (initial value problems) raised, also fixing a solution pattern for certain problems, that is, the appropriate method for each type of problem will be stipulated.Este documento contiene una comparación detallada entre los métodos iniciales de solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias, que parten del enfoque del método de Euler, que se basa en la solución de ecuaciones diferenciales por el método de Taylor, los otros dos métodos a comparar son mejoras de este. método, el de Euler, y son el método de Heun, y el método del punto medio. Se observará a partir de la solución de ecuaciones diferenciales de prueba su respectivo error con respecto a la solución analítica, obteniendo un índice de error dictado por el error cuadrático medio EMC. A través de este documento conoceremos la mejor aproximación numérica a la solución analítica de los diferentes PVI (problemas de valor inicial) planteados, fijando también un patrón de solución para determinados problemas, es decir, se estipulará el método adecuado para cada tipo de problema

Comparación numérica por diferentes métodos (métodos Runge Kutta de segundo orden, método Heun, método de punto fijo y método Ralston) a ecuaciones diferenciales con condición inicial

This manuscript contains a detailed comparison between numerical solution methods of ordinary differential equations, which start from the Taylor series method of order 2, stating that this series hinders calculations for higher order derivatives of functions of several variables, so that the Runge Kutta methods of order 2 are implemented, which achieve the required purpose avoiding the cumbersome calculations of higher order derivatives. In this document, different variants of the Runge-Kutta methods of order 2 will be exposed from an introduction and demonstration of the connection of these with the Taylor series of order 2, these methods are: the method of Heun, the method of midpoint and the Ralston method. It will be observed from the solution of test differential equations its respective error with respect to the analytical solution, obtaining an error index dictated by the mean square error EMC. Through this document we will know the best numerical approximation to the analytical solution of the different PVI (initial value problems) raised, also fixing a solution pattern for certain problems, that is, the appropriate method for each type of problem will be stipulated. It was observed that the Ralston method presented greater accuracy followed by the midpoint method and the Heun method, in the other PVI it is observed that the midpoint method yields the best numerical solution since it has a very low EMC and difficult to reach by the other methods.  Este documento contiene una comparación detallada entre los métodos de solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que comienzan con el método de la serie Taylor de orden 2, indicando que esta serie dificulta los cálculos para derivadas de orden superior de funciones de varias variables, de modo que los métodos de orden Runge Kutta 2 se implementan, lo que logra el propósito requerido evitando los difíciles cálculos de derivadas de orden superior. En este documento, se expondrán diferentes variantes de los métodos Runge-Kutta de orden 2 a partir de una introducción y demostración de la conexión de estos con la serie Taylor de orden 2, estos métodos son: el método de Heun, el método de punto medio y El método de Ralston. Se observará a partir de la solución de ecuaciones diferenciales de prueba su respectivo error con respecto a la solución analítica, obteniendo un índice de error dictado por el error cuadrático medio EMC. A través de este documento conoceremos la mejor aproximación numérica a la solución analítica de los diferentes PVI (problemas de valor inicial) planteados, también fijando un patrón de solución para ciertos problemas, es decir, se estipulará el método apropiado para cada tipo de problema. Se observo que método de Ralston presentó mayor exactitud seguido por el método del punto medio y el de Heun, en los demás PVI se observa que el método del punto medio proporciona la mejor solución numérica puesto que tiene un EMC muy bajo y difícil de alcanzar por los demás métodos

Comparison descent directions for Conjugate Gradient Method

In the following manuscript we will show as a starting point a theoretical analysis of the gradient method, known as one of the first descent methods, and from this we will identify the strength of the conjugate gradient methods. Taking an objective function, we will determine the values that optimize it by means of different methods, indicating the differences of geometric type that these have. Different systems will be used, in order to serve as a test, obtaining their solution in each case and finding the speed at which they converge in accordance with the conjugate gradient methods proposed by Hestenes-Stiefel and Fletcher-Reeves.En el siguiente manuscrito mostraremos como punto de inicio un análisis teórico del método de gradiente, conocido como unos de los primeros  métodos de descenso, y a partir de ello identificar la fortaleza de los métodos del gradiente conjugado. Tomando una función objetivo determinaremos los valores que la optimizan mediante diferentes métodos indicando las diferencias de tipo geométrico que estos tengan. Se usarán distintos  sistemas , con el fin de que sirvan de prueba obteniendo en cada caso su solución y encontrando la velocidad en que convergen de conformidad con los métodos de gradiente conjugado propuestos por Hestenes-Stiefel y Fletcher- Reeves

Optimización de ecuaciones con restricciones no lineales: comparativo entre técnicas heurística y convexa

In this article, different optimization techniques were explored through different methodologies. It is important to highlight that optimization problems are found in a large number of academic disciplines and the paths proposed to solve them are found first in the so-called strong mathematical techniques (global optimum) through existence and uniqueness theorems, and the second way, the so-called heuristic or metaheuristic techniques, inspired mostly by biological, social, and cultural processes which allow expanding the search spaces for solutions or relaxing the functions to be optimized from continuous to non-continuous as well as constraints. The metaheuristic technique studied is the particle swarm optimization, (PSO) based on the complete model (cognitive and social components) which is a metaheuristic technique inspired by biology, comparatively with the convex mathematical technique using the behavior of positive semi-definite matrices, for the formulation and modeling of problems with objective functions and convex feasible regions. The problem solved by these two methods consists of knowing the values of the resources of two variables within an objective function. Finally, the answers obtained are evaluated under the assumption that the local minima are global minima within the neighborhood.En el presente artículo se exploran diversas técnicas de optimización a través de metodologías diferentes; es importante resaltar que los problemas de optimización se encuentran en una gran multitud de disciplinas académicas, y los caminos propuestos para resolverlos se encuentran, el primero, en las técnicas matemáticas denominadas fuertes (óptimo global) a través de teoremas de existencia y unicidad, y el segundo camino, en las denominadas técnicas heurísticas o metaheurísticas inspiradas en su mayoría en procesos biológicos, sociales, culturales, las cuales permiten ampliar los espacios de búsqueda de las soluciones o relajar las funciones por optimizar de continuas a no continuas, al igual que las restricciones. La técnica metaheurística estudiada es el enjambre de partículas, (PSO) basada en el modelo completo (componentes cognitiva y social), el cual es una técnica metaheurística inspirada en la biología, comparativamente con la técnica matemática convexa utilizando el comportamiento de las matrices semidefinidas positivas, para el planteamiento y modelado de problemas con funciones objetivo y regiones factibles convexas. El problema resuelto por estos dos métodos consiste en conocer los valores de los recursos de dos variables dentro de una función objetivo. Por último, se evalúan las respuestas obtenidas bajo la suposición de que los mínimos locales son mínimos globales dentro de la vecindad

Numerical Comparison by Different Methods (Second Order Runge Kutta Methods, Heun Method, Fixed Point Method and Ralston Method) to Differential Equations with Initial Condition

This manuscript contains a detailed comparison between numerical solution methods of ordinary differential equations, which start from the Taylor series method of order 2, stating that this series hinders calculations for higher order derivatives of functions of several variables, so that the Runge Kutta methods of order 2 are implemented, which achieve the required purpose avoiding the cumbersome calculations of higher order derivatives. In this document, different variants of the Runge-Kutta methods of order 2 will be exposed from an introduction and demonstration of the connection of these with the Taylor series of order 2, these methods are: the method of Heun, the method of midpoint and the Ralston method. It will be observed from the solution of test differential equations its respective error with respect to the analytical solution, obtaining an error index dictated by the mean square error EMC. Through this document we will know the best numerical approximation to the analytical solution of the different PVI (initialvalue problems) raised, also fixing a solution pattern for certain problems, that is, the appropriate method for each type of problem will be stipulated.It was observed that the Ralston method presented greater accuracy followed by the midpoint method and the Heun method, in the other PVI it is observed that the midpoint method yields the best numerical solution since it has a very low EMC and difficult to reach by the other methods.Este documento contiene una comparación detallada entre los métodos de solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que comienzan con el método de la serie Taylor de orden 2, indicando que esta serie dificulta los cálculos para derivadas de orden superior de funciones de varias variables, de modo que los métodos de orden Runge Kutta 2 se implementan, lo que logra el propósito requerido evitando los difíciles cálculos de derivadas de orden superior. En este documento, se expondrán diferentes variantes de los métodos Runge-Kutta de orden 2 a partir de una introducción y demostración de la conexión de estos con la serie Taylor de orden 2, estos métodos son: el método de Heun, el método de punto medio y El método de Ralston. Se observará a partir de la solución de ecuaciones diferenciales de prueba su respectivo error con respecto a la solución analítica, obteniendo un índice de error dictado por el error cuadrático medio EMC. A través de este documento conoceremos la mejor aproximación numérica a la solución analítica de los diferentes PVI (problemas de valor inicial) planteados, también fijando un patrón de solución para ciertos problemas, es decir, se estipulará el método apropiado para cada tipo de problema. Se observo que método de Ralston presentó mayor exactitud seguido por el método del punto medio y el de Heun, en los demás PVI se observa que el método del punto medio proporciona la mejor solución numérica puesto que tiene un EMC muy bajo y difícil de alcanzar por los demás métodos